Math Girls

Tòa giảng đường nằm tách khỏi khối trường chính, phải đi một đoạn nhỏ băng qua sân trường mới tới được nơi. Với cấu tạo bậc thang cùng bục giảng được đặt ngang những bậc cuối, cho phép học sinh quan sát thực tế các thí nghiệm trong bài giảng - Rất tốt cho các môn Hóa Học và Vật Lý.

Đến nơi, tôi trông thấy Tetra đang dựa người vào tường với một khuôn mặt lo lắng, bút chì với quyển vở cầm trên tay thì ép chặt vào lồng ngực.

"A, anh đến rồi, cảm ơn anh nhiều nha". Em ấy nói.

"À, thì, chả là em muốn hỏi anh vài chỗ, nhưng chưa biết làm thế nào nên đã đi nhờ đứa bạn, và cậu ấy nói nơi này là một chỗ khá tốt để, à, để gặp mặt đó anh."

Tetra và tôi ngồi xuống hàng ghế gần cuối giảng đường. Rồi tôi lấy lá thư em ấy gửi sáng nay khỏi cặp.

"Anh đọc lá thư rồi. Nhưng thực sự, anh không nhớ là đã gặp em hồi cấp 2 chưa ấy?"

"Thì đúng là vậy mà. Em cũng chỉ biết anh sơ sơ thôi."

"Với lại sao em biết anh được nhỉ? Anh không nghĩ mình nổi tiếng đến vậy". Mà làm sao nổi được khi toàn ở thư viện lúc rảnh được cơ chứ.

"Thì... Anh hơi hơi nổi thật mà."

"Nói thế thì...". Tôi đưa lá thư của em ấy lên. "Vậy, cái này thì sao? Em đang gặp vấn đề với toán à?"

"Vâng ạ. Hồi cấp 1 ấy anh, em cũng thích toán. Làm bài tập hay nhưng thứ khác, mọi thứ đều ổn. Nhưng khi lên cấp 2, nó khác lắm. Kiểu như, làm thì nhiều nhưng em chẳng hiểu mình đang làm gì. Giáo viên toán đã dặn em là lên cấp 3 toán còn khó hơn nữa, nên em phải làm thế mới bắt kịp được. Rồi em đã học như vậy cho đến bây giờ. Nhưng em không muốn mình rập khuôn trong sách như trước, em thực sự muốn hiểu ạ!"

"Vậy là em lo cho điểm số của mình à?"

Rồi Tetra ngậm móng ngón tay cái giữa môi. "Không ạ, ý em không phải thế". Ánh mắt em ấy đánh nhích lên, trông như một động vật nhỏ bé đang lo sợ - Một bé mèo con hay một bé sóc nào đó. "Nếu em biết đề có gì thì làm ổn. Nhưng nếu nó hỏi lắt léo và sáng tạo hơn thì em làm sai, sai rất nhiều luôn đấy anh".

"Thế em theo kịp nhưng gì thầy cô dạy trên lớp chứ?"

"Cũng gần gần ạ".

"Còn bài tập thì sao? Em làm được không?"

"Cũng thế, nhưng vài chỗ hơi đuối thật ạ".

"Ra là vậy," Tôi gật gật đầu. "Đến lúc học bản chất rồi!"

2.5.1 Định nghĩa số nguyên tố.

"Trước tiên, thử với vài thứ cụ thể nào," Tôi bắt đầu. "Em biết số nguyên tố không?".

"Chắc là có ạ..." em ấy nói.

"Đâu? Thử cho anh định nghĩa xem."

"Thì, 5 và 7 là những số nguyên tố..."

"Cái đấy thì rõ ràng rồi, nhưng đó là ví dụ. Anh cần định nghĩa cơ."

"Một số nguyên tố là, à, một số chỉ chia hết cho 1 và chính nó, phải không ạ? Trước em bị giáo viên bắt học thuộc như thế."

"Rồi. Nếu ta viết nó thành mệnh đề, thì sẽ được như này:"

Một số nguyên dương p là số nguyên tố nếu nó chỉ chia hết cho 1 và p.

Tôi đưa quyển nháp cho Tetra xem. "Em định nghĩa thế này đúng không?"

"Vâng, trông đúng rồi ạ."

"Mới gần đúng thôi."

"Nhưng 5 là số nguyên tố, và nó chỉ có thể chia hết cho 1 và 5 mà ."

"Với 5 thì đúng, nhưng nếu p bằng 1, thì theo định nghĩa này, 1 cũng là một số nguyên tố, vì nó chỉ chia hết cho 1 và p. Mà dãy số nguyên tố lại bắt đầu với số 2, như này này:"

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...

"Ơ đúng thật, 1 không phải là số nguyên tố," Tetra lặp lại lời tôi. "Em cũng nhớ là học cái này rồi."

"Do đó, định nghĩa của em chưa bao quát, nhưng cũng có vài cách để sửa. Như thêm câu bổ sung chẳng hạn:"

Một số nguyên dương p là số nguyên tố nếu nó chỉ có thể

chia hết cho 1 và p. Ngoài ra, 1 không phải là số nguyên tố.

"Sẽ hay hơn nếu em để câu bổ sung ấy lên đầu định nghĩa:"

Một số nguyên dương p lớn hơn 1 là số nguyên tố nếu nó chỉ có thể chia hết cho 1 và p.

"Em cũng có thể thêm điều kiện cho giống một phát biểu toán học:"

Một số nguyên p > 1 là số nguyên tố nếu nó chỉ có thể chia hết cho 1 và p.

"Những định nghĩa này đều hợp lý hết," Tetra nhìn vào quyển nháp của tôi. "Nhưng em chỉ biết 1 không phải số nguyên tố, nhưng em không hiểu lắm. Ý em là sao người ta biết 1 không phải là số nguyên tố? Nó khác gì các số khác chứ? Chắc phải có lý do gì đó."

"Một lý do gì đó hả?" Đôi mày tôi nhướng lên.

"Vâng, kiểu có lý thuyết, hay cái gì đó sau đống số nguyên tố này phải không ạ?"

Thú vị thật, tôi chưa gặp nhiều người phải biết tường tận rồi mới bị thuyết phục như vậy.

"Hỏi thế ngố lắm ạ?" Tetra hỏi.

"À không, câu hỏi hay là đằng khác. Số 1 không phải số nguyên tố là do tính đơn nhất của phân tích thừa số nguyên tố đấy."

"Đơn nhất cái gì ạ? Đang ở đâu đấy anh?"

"Đó là một định lý cơ bản của số học, trong đó một số nguyên dương n chỉ có thể biểu diễn bằng một tích của các số nguyên tố duy nhất, gọi là phân tích thừa số nguyên tố. Ví dụ với 24, có thể biểu diễn với tích các số nguyên tố duy nhất là 2 x 2 x 2 x 3. Em cũng có thể viết là 2 x 2 x 3 x 2 hoặc 3 x 2 x 2 x 2 nếu muốn, những cũng chỉ là thay đổi vị trí các thừa số. Từ đó, để giữ cho việc phân tích thừa số nguyên tố là duy nhất, thì 1 không được là số nguyên tố, chỉ như thế mới bảo toàn được tính đơn nhất."

Lần này đến lượt Tetra, đôi mày em ấy nhướng cao. "Ý anh là việc định nghĩa một thứ là để không phá vỡ một thứ khác phải không ạ?"

"Nghe có hơi bộp chộp, nhưng cũng có ý đúng." Tôi đặt đầu bút chì lên quyển nháp. "Nó nên như thế này thì hơn: Các nhà toán học luôn tìm kiếm những ý tưởng giúp họ xây dựng nên thế của toán. Khi họ tìm thấy một thứ xứng đáng, họ đặt tên cho nó. Đó chính là những định nghĩa. Nên em "có thể" nói 1 là số nguyên tố nếu em muốn. Nhưng định nghĩa về điều "có thể" ấy khác với thứ hữu dụng cùng loại. Định nghĩa của em nói 1 là số nguyên tố, cũng tức em không thể sử dụng tính đơn nhất của phân tích thừa số nguyên tố, nên nó có vẻ không hữu dụng lắm. Giờ đã rõ ràng hơn chưa? Ý anh là tính đơn nhất ấy."

"Em nghĩ là rồi ạ."

"Em vừa nói "em nghĩ" đúng không? Đấy, tức là em cũng vừa tự hiểu rồi đó. "

"Nhưng nếu trước đó em không biết thì tự hiểu kiểu gì ạ? Có cách nào để em chắc chắn chứ?"

"Với ví dụ. Một ví dụ không phải là định nghĩa, nhưng với những ví dụ hay, thì đó lại là một cách thiết thực để kiểm tra những định nghĩa." Rồi tôi viết câu hỏi và đưa cho Tetra xem:

Hãy lấy một ví dụ cho thấy, nếu 1 là số nguyên tố thì sẽ phép phân tích thừa số nguyên tố sẽ mất đi tính đơn nhất.

"Vâng ạ" Tetra trả lời. "Nếu 1 là số nguyên tố, thì ta có thể phân tích 24 thành rất nhiều cách. Như sau:"

2 x 2 x 2 x 3

1 x 2 x 2 x 2 x 3

1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 3

.

.

.

"Chuẩn xác!" Tôi nói. "Thấy chưa? Ví dụ chính là chìa khóa để hiểu hơn đấy." Bỗng dưng một vẻ bối rối thoáng qua trên mặt Tetra. "Tuy nhiên," Tôi tiếp tục, "Thay vì cả câu 'rất nhiều cách', em chỉ cần 'nhiều cách', hay một cách khác là 'ít nhất hai.' Như thế, bài làm sẽ trông..."

"Trông cụ thể hơn ạ?" Tetra kết câu.

"Là nó đó. Câu 'rất nhiều' rất mơ hồ, bởi ta chẳng thể biết cần bao nhiêu để có được cái 'rất nhiều' ấy."

"Nhưng câu chữ đó, từ định nghĩa, ví dụ, phân tích thừa số nguyên tố hay tính đơn nhất của nó. Chúng thực sự giúp em rất nhiều. Em mới nãy còn không nhận ra tầm quan trọng của ngôn ngữ đến toán học nữa cơ."

"Em thấy thế là đúng rồi đấy. Ngôn ngữ chính là một phần cực kỳ quan trọng của toán học. Toán sử dụng những ngôn ngữ cụ thể nhất để chắc chắn không tạo ra nhầm lẫn. Và phương trình là loại ngôn ngữ không thể nào cụ thể hơn.

"Phương trình cũng là một loại ngôn ngữ ạ?"

"Đúng vậy, nó không đơn giản như ngôn ngữ thông thường. Ngôn ngữ của Toán, hay tiết học của em ngay bây giờ." Rồi tôi đảo mắt xung quanh tòa giảng đường. "Để anh dùng cái bảng đen kia cho tiện. Đi nào!"

2.5.2 Định nghĩa của giá trị tuyệt đối.

Tôi bắt đầu đi xuống cầu thang giữa giảng đường. Nhưng mới chỉ đi vài bước thì một giọng nói réo lên, Tetra từ đằng sau đụng trúng toi, suýt nữa thì cả hai ngã sõng soài.

"Em xin lỗi!" Tetra vội nói. "Em lỡ chân. Bị vấp. Xin lỗi ạ!"

"À, anh không sao đâu" Tôi đáp.

Và có vẻ sẽ có nhiều việc phải làm hơn tôi nghĩ rồi.

2.5.2 Định nghĩa giá trị tuyệt đối.

Rồi chúng tôi cẩn thận bước đến chỗ cái bằng đen. Cầm lấy viên phấn, tôi ngoảnh lại hỏi Tetra. "Em có biết giá trị tuyệt đối không?"

"Dạ, có. Giá trị tuyệt đối của 5 là 5, và giá trị tuyệt đối của -5 cũng là 5. Chỉ cần bỏ dấu trừ đi là được, phải không ạ?"

"Cũng không hẳn là sai. Thế thử định nghĩa đi. Em đọc cái này có hiểu không?" Tôi viết lên tấm bảng."Em nhớ rồi! Nhưng em không hiểu cái này lắm. Nếu lấy giá trị tuyệt đối của x tức là bỏ dấu trừ đi, thì sao trong định nghĩa lại có dấu trừ ạ?"

"Nói 'bỏ dấu trừ' nghe hơi mơ hồ trong toán học. Anh thì hiểu em đang nói gì. Nhưng dù sao thì em đang đi đúng hướng rồi đấy."

"Thế 'chuyển dấu trừ thành dấu cộng' nghe ổn hơn không ạ?"

"Không, cũng thế, vẫn mơ hồ lắm. Thử lấy giá trị tuyệt đối của -x đi:"

|-x|

"Thì..." Tetra trả lời, "Vẫn là bỏ dấu trừ khỏi x ạ?"

|-x| = x

"Không hẳn. Nếu x = -3 thì em tính nó như thế nào?"

Rồi Tetra cũng chọn một viên phấn. "Xem nào..."

|-x| = |-(-3)| vì x = -3

= |3|

vì -(-3) = 3

= 3

vì |3| = 3

"Đúng," Tôi nhận xét. "Nhưng nếu dùng định nghĩ của em, |-x| = x, thì khi x = -3, kết quả sẽ là |-x| = -3. Nhưng đáp án lại là |-x| = 3. Hay nói cách khác, |-x| = -x."

Tetra bắt đầu nhìn về tấm bảng. "Em hiểu rồi. Phải là không có dấu gì trước x mới đúng, ai ngờ x còn có thể là số âm như -3 nữa. Dùng x như thế sẽ bao quát hơn, từ... Từ đó câu định nghĩa sẽ không phải liệt kê ra những trường hợp đặc biệt phải không ạ?"

"Chuẩn luôn," Tôi trả lời. "Nếu chỉ nói 'bỏ dấu trừ' thì định nghĩa sẽ không bao quát. Nên em cần phải suy nghĩ kỹ lưỡng tất cả các trường hợp hợp thể xảy ra. Không cho sót phần nào."

Tetra gật nhẹ đầu. "Chắc là em sẽ tập dần cách nghĩ này." Rồi em ấy ngồi phịch xuống ghế và bắt đầu vân vê góc quyển vở của mình, bắt đầu kể. "Nhìn lại mới thấy, em chẳng đọng được gì ở hồi cấp 2,"

Còn tôi thì đợi cho Tetra tiếp tục.

"Cũng không phải là em không cố học. Nhưng cảm giác, em chẳng thể hiểu được những định nghĩa lẫn các phương trình. Em không đủ kỹ tính. Hoặc cũng do em... Đã quá cẩu thả."

Tetra bỗng thở dài.

"Chuyện ngày xưa thôi mà, " Tôi nói.

"Dạ?"

"Giờ bắt đầu cũng chưa muộn đâu."

Em ấy đứng bật lên cùng đôi mắt mở rộng.

"Anh nói phải ạ. En không thể thay đổi quá khứ, nhưng bản thân nhất định là có thể."

Tôi khẽ mỉm cười. "Em ngỡ được thế là tốt, nhưng vẫn còn phải đi xa lắm. Mà trời cũng tối rồi. Để lần tới nói tiếp nhé."

"Lần tới ạ?"

"Ừ, anh hay ở thư viện sau giờ học. Có gì thắc mắc, em biết cần đến đâu để hỏi rồi đó."